Question

已知函數(shù)f（x）=2^2x+1-m•2^x+m．（m∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為1，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）問題轉(zhuǎn)化為方程2t²-mt+m=0在區(qū)間[1，4]有2個(gè)不等實(shí)根，列出不等式組，解出即可；
（2）通過討論m的范圍，從而綜合得到結(jié)論．

解答： 解：令t=2^x，則2x+1=2t²，
∴g（t）=2t²-mt+m，
（1）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，1≤t≤4，
∴方程2t²-mt+m=0在區(qū)間[1，4]有2個(gè)不等實(shí)根，
∴

△=m2-8m＞0 1≤ m 4 ≤4 g(1)=2≥0 g(4)=32-3m≥0

，解得：8＜m≤

32

3

；
（2）當(dāng)m≥1時(shí)，t≥2，g（t）=2(t-

m

4

)2+m-

m2

8

，
當(dāng)

m

4

≤2時(shí)，即m≤8時(shí)，g（t）_min=g（2）=8-m=1，∴m=7，適合，
當(dāng)

m

4

＞2時(shí)，即m＞8時(shí)，g（t）_min=m-

m2

8

=1，∴m=4±2

2，

舍去，
綜上，m=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道中檔題．