Question

10．寫出1×4，2×5，3×6，…，n（n+3）的前n項(xiàng)的和公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 利用公式1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：1×4+2×5+3×6+…+n（n+3）=$\frac{n（n+1）（n+5）}{3}$．
證明：當(dāng)n=1時(shí)，1×4=4，$\frac{1×2×6}{3}$=4，顯然結(jié)論成立；
假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1×4+2×5+3×6+…+k（k+3）=$\frac{k（k+1）（k+5）}{3}$，
則n=k+1時(shí)，1×4+2×5+3×6+…+k（k+3）+（k+1）（k+4）=$\frac{k（k+1）（k+5）}{3}$+（k+1）（k+4）
=（k+1）（$\frac{k（k+5）}{3}$+k+4）=$\frac{（k+1）（{k}^{2}+8k+12）}{3}$
=$\frac{（k+1）（k+2）（k+6）}{3}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
綜上，1×4+2×5+3×6+…+n（n+3）=$\frac{n（n+1）（n+5）}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題．