Question

2．已知點F是拋物線C：y²=4x的焦點，P是拋物線C在第一象限內(nèi)的點，且|PF|=5．
（1）求點P的坐標；
（2）以P為圓心的動圓與x軸分別交于兩點A、B，延長PA、PB分別交拋物線C于M、N兩點．
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交x軸于點E，若|EM|=$\frac{1}{3}$|NE|，求cos∠MPN的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義求出P到準線的距離為5，從而得出P的橫坐標，代入拋物線方程得出坐標系；
（2）①設(shè)PA斜率為k，得出PA，PB方程，聯(lián)立方程組解出M，N的坐標，計算MN的斜率；
②求出E點坐標，根據(jù)向量關(guān)系得出k，從而得出A，B坐標，利用余弦定理得出cos∠MPN．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F（1，0），則|PF|=x₀+1=5，x₀=4，
∴y₀=4，∴點P的坐標是（4，4）．
（2）①設(shè)直線PA的方程為y-4=k（x-4）（k≠0），M（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}y-4=k（x-4）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得ky²-4y+16-16k=0，
∴${y_1}+4=\frac{4}{k}，{y_1}=\frac{4}{k}-4$，∴$M（\frac{{4{{（1-k）}^2}}}{k^2}，\frac{4}{k}-4）$．
由已知PA=PB，∴直線PB的斜率為-k，∴$N（\frac{{4{{（1+k）}^2}}}{k^2}，-\frac{4}{k}-4）$，
∴${k_{MN}}=\frac{{\frac{4}{k}-4+\frac{4}{k}+4}}{{\frac{{4{{（1-k）}^2}}}{k^2}-\frac{{4{{（1+k）}^2}}}{k^2}}}=-\frac{1}{2}$．
②設(shè)E（t，0），∵|EM|=$\frac{1}{3}$|NE|，∴$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EN}$，
∴$\frac{4}{k}-4$=$\frac{1}{3}$（-$\frac{4}{k}$-4），解得k=2．
∴直線PA的方程為y=2x-4，則A（2，0），同理B（6，0）．
∴$cos∠MPN=cos∠APB=\frac{{P{A^2}+P{B^2}-A{B^2}}}{2PA•PB}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．