Question

9．已知ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根據(jù)x的取值范圍，求出ωx+$\frac{π}{4}$的取值范圍；再根據(jù)題意求出周期T，列出不等式，求出ω的取值范圍．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），ω＞0，
∴ωx+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{πω}{2}$+$\frac{π}{4}$）；
又函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，得ω≤2；
又∵f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的單調(diào)增區(qū)間滿足：
-$\frac{π}{2}$+2kπ＜ωx+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
令k=0，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{πω}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得ω≤$\frac{1}{2}$；
綜上，ω的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，著重考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)圖象的變換問題，是基礎(chǔ)題目．