Question

16．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點都在直徑為$\sqrt{269}$的球面上，且AB=5，AC=12，BC=13，點D是BB₁的中點，則AD與平面BCC₁B₁所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{6}{13}$
• B． $\frac{5}{13}$
• C． $\frac{6\sqrt{2}}{13}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{13}$

Answer 1

分析 由已知AB⊥AC，從而矩形BCC₁B₁的對角線長即為球直徑，進而CC₁=6，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點都在直徑為$\sqrt{269}$的球面上，
且AB=5，AC=12，BC=13，點D是棱BB₁的中點，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．
取BC中點E，則OE⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)，
矩形BCC₁B₁的對角線長即為球直徑，
∴$\sqrt{169+C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{269}$，解得CC₁=10，
以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），D（5，0，5），B（5，0，0），B₁（5，0，10），C（0，12，0），
$\overrightarrow{AD}$=（5，0，5），$\overrightarrow{BC}$=（-5，12，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，10），
設(shè)平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-5x+12y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=10z=0}\end{array}\right.$，取x=12，得$\overrightarrow{n}$=（12，5，0），
設(shè)AD與平面BCC₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{60}{\sqrt{50}•13}$=$\frac{6\sqrt{2}}{13}$．
∴AD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值為$\frac{6\sqrt{2}}{13}$．
故選：C．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用