Question

17．已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用抽象函數(shù)的關(guān)系式，通過(guò)賦值法求解即可．
（2）利用賦值法，通過(guò)函數(shù)的奇偶性證明即可．

解答 解：（1）定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y），
當(dāng)x=y=0時(shí)，f（0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0．
（2）定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得：f（x-x）=f（x）+f（-x），
可得0=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x）．
函數(shù)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的證明，是基礎(chǔ)題．