Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且g（x）=2f（x）+f′（x），把g（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{12}$
• D． $\frac{π}{24}$

Answer 1

分析 由條件可求f′（x），根據(jù)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求g（x），進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得φ的值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{7π}{12}$），
∴把g（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位，得到的函數(shù)解析式為：y=2$\sqrt{2}$sin[2（x-φ）+$\frac{7π}{12}$]=2$\sqrt{2}$sin（2x-2φ+$\frac{7π}{12}$），
∵得到的此函數(shù)為偶函數(shù)，可得：-2φ+$\frac{7π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ═$\frac{π}{24}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∵φ＞0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ的最小值為$\frac{π}{24}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的周期性和奇偶性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．