Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PA=AB，E，F(xiàn)，G分別是PO，AD，AB的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PBD；
（Ⅱ）求證：PC⊥BD；
（Ⅲ）求證：PC⊥平面EFG．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）易知FG∥BD，由BD?平面PBD．GF?平面PBD，即可證明FG∥平面PBD；
（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，可證PO⊥BD，又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，AC∩PO=O，可證BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，從而證明BD⊥PC．
（Ⅲ）設(shè)FG∩AC=H，連結(jié)EH，由已知條件推導(dǎo)出AP⊥PC，EH⊥PC，F(xiàn)G⊥PC，由此能證明PC⊥平面EFG．

解答： 證明：（Ⅰ）∵F，G分別是AD，AB的中點．底面ABCD是正方形，
∴FG∥BD，
∵BD?平面PBD．GF?平面PBD；
∴FG∥平面PBD；
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵底面ABCD是正方形，AC⊥BD，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（Ⅲ）證明：設(shè)FG∩AC=H，連結(jié)EH，
在Rt△ABC中，AB=BC，且AB²+BC²=AC²，
在△PAC中，PA=PC=AB，
PA²+PC²=AC²，∴AP⊥PC，
E、F、G分別是PO、AD、AB的中點，
FG∥BD，
∴H為AO中點，
∴EH∥PA，故EH⊥PC，
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG
∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，
∴FG⊥PC，
∵FG∩EH=H，
∴PC⊥平面EFG．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，熟練掌握空間線線，線面垂直及平行的判定定理，性質(zhì)定理及幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．