Question

9．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的單位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$）的最大值為1$+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得到$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow）=1-（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$=$1-|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}+2\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$，而由題意可得到$-1≤cos＜\overrightarrow{a}+2\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞≤1$，從而有$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow）≤1+|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$，可以求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{5}$，這樣即可求出$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow）$的最大值．

解答 解：$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
又$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=1$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow）={\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$$+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$1-（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$
=$1-|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}+2\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$
$≤1+|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$=$1+\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$=$1+\sqrt{5}$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow）$的最大值為$1+\sqrt{5}$．
故答案為：$1+\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，單位向量的概念，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，根據(jù)$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$求向量長度的方法．