Question

19．設(shè)二次函數(shù)f（x）=2ax²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），則$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$的取值范圍是（$\frac{9}{5}$，$\frac{23}{10}$）．

Answer 1

分析 由于二次函數(shù)f（x）=2ax²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），所以a＞0，且△=0，從而得到a，c的關(guān)系等式，再利用a，c的關(guān)系等式解出a，把$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的代數(shù)式，換元利用單調(diào)性求解．

解答 解：因?yàn)槎�次函�?shù)f（x）=2ax²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{8-4•2a•\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$⇒ac=2⇒c=$\frac{2}{a}$，
所以$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$=$\frac{1}{\frac{2}{a}+2}$+$\frac{2}{a+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3a+2}{{a}^{2}+3a+2}$，
令t=3a+2（t＞2），則$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{9t}{{t}^{2}+5t+4}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{t+\frac{4}{t}+5}$
由于t＞2，∴t+$\frac{4}{t}$＞4，
所以$\frac{9}{5}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{t+\frac{4}{t}+5}$＜$\frac{23}{10}$
故答案為：（$\frac{9}{5}$，$\frac{23}{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的值域，變量的替換及利用單調(diào)性求最值．