Question

14．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，直線?的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{\sqrt{2}sinθ+cosθ}$．
（Ⅰ）寫出曲線C₁與直線?的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C₁上一動點，求Q點到直線?距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的極坐標方程為ρ²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=2，利用互化公式可得直角坐標方程．直線?的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{\sqrt{2}sinθ+cosθ}$，即ρ$（\sqrt{2}sinθ+cosθ）$=4，利用互化公式可得直角坐標方程．
（II）設(shè)Q$（\sqrt{2}cosθ，sinθ）$，點Q到直線?的距離d=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{3}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的極坐標方程為ρ²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=2，化為直角坐標方程：x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
直線?的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{\sqrt{2}sinθ+cosθ}$，即ρ$（\sqrt{2}sinθ+cosθ）$=4，可得直角坐標方程：$\sqrt{2}$y+x-4=0．
（II）設(shè)Q$（\sqrt{2}cosθ，sinθ）$，點Q到直線?的距離d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ-4|}{\sqrt{3}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{3}}$∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、點的直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．