Question

已知實數a≠0，集合A={x|y=ln

ax

x-a2-1

}，B={x|2＜x＜4}．
（1）求集合A；
（2）設命題p：x∈A．，命題q：x∈B，若p是q成立的必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：根據a的正負，求出集合A，在根據集合之間的包含關系即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a＞0時，由

ax

x-a2-1

＞0，?x＜0或x＞a²+1，∴A=（-∞，0）∪（a²+1，+∞）
當a＜0時，由

ax

x-a2-1

．＞0?0＜x＜a²+1，∴A=（0，a²+1）
（2）命題p：x∈A．，命題q：x∈B，若p是q成立的必要條件，則q⇒p，則B⊆A．又B={x|2＜x＜4}．
當a＞0時，a²+1≤2，∴0＜a≤1；當a＜0時，a²+1≥4，∴a≤-

3

綜上，a的取值范圍是（-∞，-

3

]∪（0，1）

點評：本題以充分必要條件為載體，考查了集合之間的包含關系，屬于基礎題．