Question

14．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P（2，1）為線段MN的中點(diǎn)，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求直線MN的方程；
（2）若F₁是橢圓C右焦點(diǎn)，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=-$\frac{1}{3}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{m}^{2}}$=1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出直線MN的方程．
（2）設(shè)F₁（c，0），則$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x₁-c，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₂-c，y₂），從而得到3c²-12c+1+3（x₁x₂+y₁y₂）=0，聯(lián)立聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，得3x²-12x-4m²+18=0，從而x₁x₂+y₁y₂=9-$\frac{8{m}^{2}}{3}$，由此能求出橢圓C的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P（2，1）為線段MN的中點(diǎn)，
橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{m}^{2}}$=1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{m}^{2}}$=1，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4{m}^{2}}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
∴直線MN的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
（2）設(shè)F₁（c，0），則$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x₁-c，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₂-c，y₂），
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=-$\frac{1}{3}$，
∴（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=-$\frac{1}{3}$，（*）
又x₁+x₂=4，故由（*）式整理，得：3c²-12c+1+3（x₁x₂+y₁y₂）=0，①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，得3x²-12x-4m²+18=0，
△＞0，x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{18-4{m}^{2}}{3}$，
y₁y₂=（3-x₁）（3-x₂）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=2×$\frac{18-4{m}^{2}}{3}$-3×4+9=9-$\frac{8{m}^{2}}{3}$，②
c=$\sqrt{4{m}^{2}-2{m}^{2}}$=$\sqrt{2}m$，③
①②③聯(lián)立，得：2m²+12$\sqrt{2}m$-28=0，
解得m=$\sqrt{2}$或m=-7$\sqrt{2}$（舍），
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差數(shù)、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．