Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段圖象（如圖所示） 
（1）求其解析式；
（2）令g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

，當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，求g（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式

分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)的圖象求出A、ω，φ的值，進(jìn)一步確定函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)的變換求出g（x）的解析式，進(jìn)一步利用單調(diào)性求出最值．

解答： 解：（1）利用函數(shù)的圖象：

3T

4

=

7π

8

-

π

8

=

3π

4

所以：T=π
求得：ω=2
將點(

7π

8

，0)代入sin（

14π

8

+φ）=0
解得：φ=-

7π

4

+2kπ（k∈Z）
由于：|φ|＜

π

2

解得：φ=

π

4

將點（0，

2

）代入關(guān)系式：解得：A=2
所以：f（x）=2sin（2x+

π

4

）
（2）令g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

=f(x)-1+

1

f(x)-1

設(shè)m=f（x）-1=2sin（2x+

π

4

）-1
則：g（x）=m+

1

m

當(dāng)0≤x≤

π

4

時，

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

所以：

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1

2

-1≤m≤1
由于g（x）=m+

1

m

在[

2

-1，1]上是減函數(shù)
則：當(dāng)x=0或

π

4

時，g(x)取最大值．
g（x）_max=2

2

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)解析式的求法，及三角函數(shù)的最值問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．