Question

5．已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），離心率$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（1，0），且$（{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}}）⊥\overrightarrow{AB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），得到雙曲線的半焦距c，通過(guò)雙曲線的離心率求解長(zhǎng)半軸，短半軸，即可
求出橢圓的方程．
（2）設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0）代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）通過(guò)韋達(dá)定理，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為（c，0）
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），所以c=2
因?yàn)?e=\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，則a²=5，b²=1
所以橢圓的方程為：$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$
（2）由（1）得F（2，0），設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0）代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$
得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則${x_1}+{x_2}=\frac{{20{k^2}}}{{5{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{20{k^2}-5}}{{5{k^2}+1}}$
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
所以$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=（{{x_1}-1，{y_1}}）+（{{x_2}-1，{y_2}}）=（{{x_1}+{x_2}-2，{y_1}+{y_2}}）$$\overrightarrow{AB}=（{{x_2}-{x_1}，{y_2}-{y_1}}）$
因?yàn)?（{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}}）•\overrightarrow{AB}=0$
所以（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0
所以$\frac{{20{k^2}}}{{5{k^2}+1}}-2-\frac{{4{k^2}}}{{5{k^2}+1}}=0$
所以3k²-1=0，所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以直線的方程為：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-2}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．