Question

13．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點，PH為△PAD中AD邊上的高．
（Ⅰ）證明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，$AD=\sqrt{2}$，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥平面PAD得平面PAD⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)推出PH⊥平面ABCD；
（II）由AB⊥平面PAD，AB∥CD得CD⊥平面PAD，故AD⊥CD，因為E是PB中點，故E到平面BCF的距離為PH的一半，代入體積公式計算出棱錐的體積．

解答 證明：（I）∵AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊥AD，PH?平面PAD，
∴PH⊥平面ABCD．
（II）∵AB⊥平面PAD，AB∥CD，
∴CD⊥平面PAD，∵AD?平面PAD，
∴CD⊥AD，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}FC•AD$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵E是PB的中點，PH⊥平面ABCD，
∴E到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PH$=$\frac{1}{2}$，
∴V_棱錐E-BCF=$\frac{1}{3}$S_△BCF•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．