Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）證明：當x＞0時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由分母不為0，可得f（x）的定義域；
（2）利用奇函數(shù)的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）當x＞0時，2^x-1＞0，即可證明f（x）＞0．

解答 （1）解：由2^x-1≠0，可得x≠0，∴f（x）的定義域是{x|x≠0}；
（2）解：f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：當x＞0時，2^x-1＞0，∴f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＞0．

點評 本題考查函數(shù)的定義域，奇偶性的判斷，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．