Question

6．如圖，在四棱錐中P-ABCD，底面ABCD為邊長為$\sqrt{2}$的正方形，PA⊥BD．
（1）求證：PB=PD；
（2）若E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點，EF⊥平面PCD，求直線PB與平面PCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD交于點O，連結(jié)PO，則AC⊥BD，結(jié)合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O為BD的中點，得出OP為BD的中垂線，得出結(jié)論；
（2）設(shè)PD的中點為Q，連接AQ，EQ，證明四邊形AQEF是平行四邊形，于是AQ⊥平面PCD，通過證明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，結(jié)合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則直線PB與平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{PB}$＞|，從而得出線面角的大�。�

解答 解：（1）連接AC，BD交于點O，連結(jié)PO．
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD．
又PA⊥BD，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，∵PO?平面PAC，
∴BD⊥PO．
又OB=OD，
∴PB=PD．
（2）設(shè)PD的中點為Q，連接AQ，EQ，
則EQ∥CD，EQ=$\frac{1}{2}$CD，又AF∥CD，AF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}CD$，
∴EQ∥AF，EQ=AF，
∴四邊形AQEF為平行四邊形，∴EF∥AQ，
∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，
∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中點，
∴AP=AD=$\sqrt{2}$．
∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，
又AD⊥CD，AQ∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．
又BD⊥PA，BD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD．
以A為坐標(biāo)原點，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），A（0，0，0），Q（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AQ}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$）．
∵AQ⊥平面PCD，∴$\overrightarrow{AQ}$為平面PCD的一個法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AQ}||\overrightarrow{PB}|}$=-$\frac{1}{2}$．
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{PB}$＞|=$\frac{1}{2}$．
∴直線PB與平面PCD所成角為$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．