Question

16．已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，那么該四棱錐的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據(jù)勾股定理解出球的半徑；由等體積可得內(nèi)切球半徑r，即可求出四棱錐的內(nèi)切球與外接球的表面積之比．

解答 解：正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
記球心為O，PO=AO=R，AO₁=PO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，得R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
正四棱錐內(nèi)切球的半徑為r
由等體積可得$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{1}{3}$（a²+4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²）r，
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a÷（1+$\sqrt{3}$），
∴該四棱錐的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為$\frac{1}{（1+\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查外接球半徑R及內(nèi)切球半徑r，考查計(jì)算能力和空間想象能力，等體積方法求出球的半徑是解決本題的關(guān)鍵．