Question

7．已知A（2，0），B（-2，0），P（x，y），下列命題正確的是（　�。�

• A． 若P到A，B距離之和為4，則點P的軌跡為橢圓
• B． 若P到A，B距離之差為3，則點P的軌跡為雙曲線
• C． 橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點M（長軸端點除外）與A，B連線斜率之積是-$\frac{3}{4}$
• D． 雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點M（實軸端點除外）與A，B連線斜率之積是-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 在A中：點P的軌跡為線段AB；在B中：點P的軌跡為雙曲線的左支；在C中：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點M（長軸端點除外）與A，B連線斜率之積是-$\frac{3}{4}$；在D中：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點M（實軸端點除外）與A，B連線斜率之積是$\frac{3}{4}$．

解答 解：∵A（2，0），B（-2，0），P（x，y），∴|AB|=4，
若P到A，B距離之和為4，則點P的軌跡為線段AB，故A錯誤；
若P到A，B距離之差為3，則點P的軌跡為雙曲線的左支，故B錯誤；
依題意可知A（2，0），B（-2，0）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1頂點，
M是橢圓橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點，設(shè)坐標為M（2cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴MA、MB的斜率分別是k₁=$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα-2}$，k₂=$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα+2}$
∴k₁k₂=$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα-2}$×$\frac{\sqrt{3}sinα}{2cosα+2}$=$\frac{3si{n}^{2}α}{4（co{s}^{2}α-1）}$=-$\frac{3}{4}$，故C正確；
依題意可知A（2，0），B（-2，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的項點，
橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1焦點，
M是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意一點，設(shè)坐標為M（2sect，$\sqrt{3}$tant），
∴MA、MB的斜率分別是k₁=$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect-2}$，k₂=$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect+2}$，
∴k₁k₂=$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect-2}$×$\frac{\sqrt{3}tant}{2sect+2}$=$\frac{3}{4}$，故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查點的軌跡方程的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線、橢圓的性質(zhì)的合理運用．