Question

8．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+2y-2≥0\\ x-y+2m≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于3，則m的值為2．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出三角形各頂點的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
若表示的平面區(qū)域為三角形，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（2，0），
則A（2，0）在直線x-y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
則m＞-1，
則A（2，0），D（-2m，0），
由 $\left\{\begin{array}{l}{x-y+2m=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1-m}\\{y=1+m}\end{array}\right.$，即B（1-m，1+m），
由 $\left\{\begin{array}{l}{x-y+2m=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2-4m}{3}}\\{y=\frac{2+2m}{3}}\end{array}\right.$，即C（ $\frac{2-4m}{3}$，$\frac{2+2m}{3}$）．
則三角形ABC的面積S_△ABC=S_△ADB-S_△ADC
=$\frac{1}{2}$|AD||y_B-y_C|
=$\frac{1}{2}$（2+2m）（1+m-$\frac{2+2m}{3}$）
=（1+m）（1+m-$\frac{2+2m}{3}$）=3，
即（1+m）×$\frac{1+m}{3}$=3，
即（1+m）²=9
解得m=2或m=-4（舍），
故答案為：2．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及三角形面積的計算，求出交點坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．