Question

2．已知復(fù)數(shù)z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$，若z²+az+b=1-i，
（1）z，|z|；
（2）求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求|z|；
（2）把z=1+i代入z²+az+b=1-i，化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b的值．

解答 解：（1）z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=$\frac{-2i+3+3i}{2-i}=\frac{3+i}{2-i}=\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{5+5i}{5}=1+i$，
|z|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$；
（2）把z=1+i代入z²+az+b=1-i，得
（1+i）²+a（1+i）+b=1-i，即（a+b）+（a+2）i=1-i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a+2=-1}\end{array}\right.$，解得a=-3，b=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．