Question

17．如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2
（1）若點E、H分別為AB、DC的中點，求證：平面BD₁H∥平面A₁DE；
（2）若點G在AB上，且AG=$\frac{1}{3}$，求二面角D₁-GC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形BEDH是平行四邊形，從而DE∥BH，推導出四邊形EHD₁A₁是平行四邊形，從而A₁E∥D₁H，由此能證明平面BD₁H∥平面A₁DE．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D₁-GC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，
點E、H分別為AB、DC的中點，
∴DH$\underset{∥}{=}$BE，∴四邊形BEDH是平行四邊形，∴DE∥BH，
又A₁D₁$\underset{∥}{=}$EH，∴四邊形EHD₁A₁是平行四邊形，∴A₁E∥D₁H，
∵A₁E∩DE=E，D₁H∩BH=H，A₁E，DE?平面A₁ED，D₁H，BH?平面BD₁H，
∴平面BD₁H∥平面A₁DE．
解：（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則G（1，$\frac{1}{3}$，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{G{D}_{1}}$=（-1，-$\frac{1}{3}$，1），$\overrightarrow{GC}$=（-1，$\frac{5}{3}$，0），
設平面GD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{G{D}_{1}}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GC}=-x+\frac{5}{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（5，3，8），
平面GCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角D₁-GC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{98}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴二面角D₁-GC-D的余弦值為$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查面面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．