Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且|MF|=3，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，記直線FA，F(xiàn)B，F(xiàn)P的斜率分別為k₁，k₂，k₃，求當(dāng)k₁k₂+k₃+1=0時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線定義結(jié)合拋物線的焦半徑公式求得p值，則拋物線方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫坐標(biāo)的和與積，再由k₁k₂+k₃+1=0求得k值，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）由已知：2+$\frac{p}{2}$=3，∴P=2，
故拋物線C的方程為：y²=4x；
（2）如圖，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
∴△=（2k²-4）²-4k⁴=16-16k²＞0，即-1＜k＜1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=1$①，
${k}_{1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，${k}_{3}=\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}-1}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}$
由k₁k₂+k₃+1=0，得
$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$$+\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}+1$=0②，
把①代入②整理得：$\frac{2{k}^{2}-k-1}{{k}^{2}-1}=0$，
解得：k=1（舍）或$k=-\frac{1}{2}$．
∴直線l的方程為y=$-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$，即x+2y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．