Question

14．已知數(shù)列{α_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=$\frac{9}{2}$，S_n+S_n-1=2a_n（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（n=1）}\\{n{a}_{n}（n≥2，n∈N*）}\end{array}\right.$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{9}{2}$，S_n+S_n-1=2a_n（n≥2），S_n+S_n-1=2（S_n-S_n-1），可得：S_n=3S_n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n，利用遞推關(guān)系可得a_n．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=$\frac{9}{2}$，S_n+S_n-1=2a_n（n≥2），
∴S_n+S_n-1=2（S_n-S_n-1），化為：S_n=3S_n-1．
∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{9}{2}$，公比為3．
（2）解：由（1）可得：S_n=$\frac{9}{2}×{3}^{n-1}$=$\frac{1}{2}×{3}^{n+1}$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}×（{3}^{n+1}-{3}^{n}）$=3ⁿ．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（n=1）}\\{n{a}_{n}（n≥2，n∈N*）}\end{array}\right.$，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$（\frac{1}{2}-n）•{3}^{n+1}$-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．