Question

6．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x（a∈R）
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）對f（x）求導(dǎo)，因為導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=-x³+2x²-x，
f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），
令f′（x）＞0，得$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（$\frac{1}{3}$，1），遞減區(qū)間是（-∞，$\frac{1}{3}$）和（1，+∞），
（2）∵f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵f′（x）為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為x=$\frac{a}{3}$，
f′（0）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}＞0}\\{f′（1）≥0}\\{f′（2）≥0}\end{array}\right.$，
∴a≥$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及由區(qū)間確定未知量a的范圍問題．