Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=n•a_n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
綜上可得，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$；
（2）b_n=n•a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{n•{2}^{n-1}，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2+2•2+3•4+4•8+…+n•2^n-1，
即有2T_n=4+2•4+3•8+4•16+…+n•2ⁿ，
相減可得，-T_n=2+4+8+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$--n•2ⁿ，
化簡可得前n項(xiàng)和T_n=（n-1）•2ⁿ+2．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)相減法，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．