Question

13．若存在x∈（0，+∞），使不等式e^x（x²-x+1）（ax+3a-1）＜1成立，則（　�。�

• A． 0$＜a＜\frac{1}{3}$
• B． a$＜\frac{2}{e+1}$
• C． a$＜\frac{2}{3}$
• D． a$＜\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 分類參數(shù)a＜$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$，構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$，利用導(dǎo)數(shù)，觀察法等判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值問，來解決存在性問題．

解答 解：∵x∈（0，+∞），
∴e^x＞0，（x²-x+1）＞0，x+3＞0，
∵e^x（x²-x+1）（ax+3a-1）＜1，
∴a＜$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$
令y=$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$，
∵y=e^x（x²-x+1），
∴y′=e^x（x²+x）＞0，x＞0
∵y=x+3在（0，+∞）上單調(diào)遞增，y=x+3＞0，
∴y=$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$在[0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴y_max=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{{e}^{0}（0-0+1）（0+3）}$=$\frac{2}{3}$，
∴存在x∈（0，+∞），使a＜$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$成立，
即a＜$\frac{2}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的問題，分離參數(shù)解決問題，利用求解導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解決較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，屬于難度較大的題目．