Question

9．（1）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，則當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，-$\frac{1}{a}$），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，a≠0，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下，a＜0，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
（2）F（x）=f（x）-g（x），F(xiàn)′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，令F'（x）≤0在[1，4]上恒成立即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），則f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-$\frac{1}{a}$；令f′（x）＜0，解得x＞-$\frac{1}{a}$．
則f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）F（x）=f（x）-g（x），F(xiàn)′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$
依題意F'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
即ax²+2x-1≥0在[1，4]上恒成立．
則a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1在[1，4]上恒成立，
即a≥（（$\frac{1}{x}$-1）²-1）_max（1≤x≤4）
當(dāng)x=4時(shí)，（$\frac{1}{x}$-1）²-取最大值-$\frac{7}{16}$，
∴a的取值范圍是（-$\frac{7}{16}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查恒成立問題，屬于中檔題．