Question

1．設全集U=R，關于x的不等式|x+2|+a-2＞0（a∈R）的解集為A．
（1）求集合A；
（2）設集合$B=\left\{{x\left|{\sqrt{3}sin（πx-\frac{π}{6}）+cos（πx-\frac{π}{6}）=0}\right.}\right\}$，若（∁_UA）∩B中有且只有三個元素，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式即|x+2|＞2-a，分類討論求得x的范圍．
（2）當a＞2時，∁_UA=∅，不合題意；當a≤2時，∁_UA={x|a-4≤x≤-a}．求得B=Z，當（∁_UA）∩B有3個元素時，a就滿足$\left\{{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-4＜a-4≤-3}\\{-1≤-a＜0}\end{array}}\right.$，由此可以得到a的范圍．

解答 解：（1）由|x+2|+a-2＞0可以得到：|x+2|＞2-a．
當a＞2時，解集是R；當a≤2時，解集是{x|x＜a-4或x＞-a}．
（2）（i）當a＞2時，∁_UA=∅，不合題意；
（ii）當a≤2時，∁_UA={x|a-4≤x≤-a}．
因$\sqrt{3}sin（πx-\frac{π}{6}）+cos（πx-\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$sinπxcos$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}$cosπxsin$\frac{π}{6}$+cosπxcos$\frac{π}{6}$+sinπxsin$\frac{π}{6}$=2sinπx，
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k，k∈Z，所以B=Z．
當（∁_UA）∩B有3個元素時，a就滿足$\left\{{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-4＜a-4≤-3}\\{-1≤-a＜0}\end{array}}\right.$，可以得到0＜a≤1．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，兩角和差的三角公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．