Question

設(shè)f（n）=

n    (n∈N*，n為奇數(shù)) f( n 2 )  (n∈N*，n為偶數(shù))

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）寫出a_n與a_n-1的一個(gè)遞推關(guān)系式，并求出a_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為b_n=log₂（3a_n-2）-10（n∈N^*），前n項(xiàng)和為S_n．整數(shù)10³是否為數(shù)列{b_n•S_n}中的項(xiàng)：若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由函數(shù)解析式結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式得a₁，a₂，a₃的值；
（2）結(jié)合函數(shù)式，由函數(shù)關(guān)系得到a_n與a_n-1的一個(gè)遞推關(guān)系式，并由等比數(shù)列的求和公式求得a_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（3）把a(bǔ)_n代入b_n=log₂（3a_n-2）-10，求出其線n項(xiàng)和，把10³代入{b_n•S_n}的通項(xiàng)驗(yàn)證得答案．

解答： 解：∵f（n）=

n    (n∈N*，n為奇數(shù)) f( n 2 )  (n∈N*，n為偶數(shù))

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）
（1）a₁=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）=2；
a₂=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（1）+f（3）+f（1）+f（2）=1+3+a₁=6；
a₃=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=22；
（2）an-1=f(1)+f(2)+…+f(2n-1)，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2ⁿ-1）
+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2ⁿ）=1+3+5+…+2ⁿ-1+f（1）+f（2）+…+f（2ⁿ-1）
∴an=an-1+4n-1(n≥2)．
∴an=2+4+42+…+4n-1=

4n+2

3

．
（3）∵b_n=log₂（3a_n-2）-10=2n-10，Sn=

n(b1+bn)

2

=n(n-9)．
∴b_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
當(dāng)5≤n≤9時(shí)，b_nS_n≤0．
當(dāng)10≤n≤13時(shí)，bnSn≤b13S13=832＜103．
當(dāng)n≥14時(shí)，bnSn≥b14S14=1260＞103．
故10³不是數(shù)列{b_n•S_n}中的項(xiàng)．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，是壓軸題．