Question

已知圓A：x²+y²+2x+2y-2=0，若圓B平分圓A的周長(zhǎng)，且圓B的圓心在直線l：y=2x上，求滿足上述條件的半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓A的方程求出圓心A（-1，-1）和半徑為2，設(shè)圓B的半徑為r，設(shè)圓A，圓B交于C，D，則圓心A在CD上，連接BA，BC，則可判斷△ABC為Rt△，則能得到：r2=5(t+

3

5

)+

21

5

，這樣即可求出r的最小值，以及此時(shí)的圓心B的坐標(biāo)，這樣即可求出圓B的方程．

解答： 解：設(shè)圓B的半徑為r，∵圓B的圓心在直線l：y=2x上，∴圓B的圓心可設(shè)為B（t，2t）；
圓A的方程變成：（x+1）²+（y+1）²=4，圓心A（-1，-1），設(shè)圓A，圓B交于C，D兩點(diǎn)，∵圓B平分圓A的周長(zhǎng)，∴圓心A在CD上，如下圖所示：
連接BA，BC，則△ABC是直角三角形，|BC|=r，|AC|=2；
∴（t+1）²+（2t+1）²+4=r²，整理得：r2=5t2+6t+6=5(t+

3

5

)2+

21

5

；
∴t=-

3

5

時(shí)，r2最小，r最小，此時(shí)圓心B(-

3

5

，-

6

5

)，半徑r=

21 5

；
∴圓B的方程為(x+

3

5

)2+(y+

6

5

)2=

21

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心和弦中點(diǎn)的連線和弦的關(guān)系，配方法求二次函數(shù)最值．