Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{m+1}{2}{x}^{2}$+2+$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，當實數(shù)m取得最小值時，若存在點Q，使得過點Q的直線與曲線y=f（x）圍成兩個封閉圖形時，這兩個封閉圖形的面積總相等，則點Q的坐標為（0，2）．

Answer 1

分析 先求出m的最小值為-1，可得f（x）解析式，分析f（x）的對稱中心即為所求．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{m+1}{2}{x}^{2}$+2+$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f'（x）=x²+（m+1）x-$\frac{1}{{x}^{2}}$．
∵f（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x²+（m+1）x-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
所以m+1≥$\frac{1}{{x}^{4}}-x$，設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}^{4}}-x$，顯然在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
因此g（x）的最大值為g（1）=0，所以m+1≥0，所以m≥-1．
所以m 的最小值為-1，
故得f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2+$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
將函數(shù)f（x）的圖象向下平移2個長度單位，所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為p（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于p（-x）=-p（x），所以p（x）為奇函數(shù)，故p（x）的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱．
由此即得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點Q（0，2）成中心對稱．
這表明存在點Q（0，2），使得過點Q的直線若能與函數(shù)g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．
故答案為：（0，2）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，恒成立問題以及函數(shù)圖象的對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．