Question

10．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD．且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，請用學習的有關向量的知識求出PB與CD所成的角．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與CD所成的角的大小．

解答 解：∵四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD．且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意得B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
設PB與CD所成的角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴PB與CD所成的角為60°．

點評 本題考查兩異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．