Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1，若f（a）+f（a+1）＞2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1，得到g（x）的單調(diào)性和奇偶性，將f（a）+f（a+1）=g（a）+1+g（a+1）+1＞2，轉(zhuǎn)化為g（a）+g（a+1）＞0，解出即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1，則g（-x）=-g（x），是奇函數(shù)，
又g′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$+1＞0，∴g（x）在R上遞增，
由f（a）+f（a+1）=g（a）+1+g（a+1）+1＞2，
得：g（a）+g（a+1）＞0，
∴g（a+1）＞-g（a）=g（-a），
∴a+1＞-a，解得：a＞-$\frac{1}{2}$，
故答案為：a＞-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問(wèn)題，考察轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．