Question

1．某單位為豐富職工業(yè)余生活，舉辦知識有獎競答活動，活動共設三關，第一、二關各有兩個必答題，如果每關兩個問題都答對，可進入下一關，第三關有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關成功．每過一關可一次性獲得價值分別為100元，300元，500元的獎品（可重復得獎），職工甲對三關中每個問題回答正確的概率依次為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，且每個問題回答正確與否相互獨立．
（1）求甲過第一關但未過第二關的概率；
（2）求甲所獲獎品的價值不高于500元的概率．

Answer 1

分析 （1）甲對三關中每個問題回答正確的概率依次為$\frac{4}{5}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$，且每個問題回答正確與否相互獨立，甲過第一關但未過第二關的概率．
（2）甲所獲獎品的價值ξ的可能取值為0，100，400，900，由此能求出甲所獲獎品的價值不高于500元的概率．

解答 解：（1）∵甲對三關中每個問題回答正確的概率依次為$\frac{4}{5}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$，
且每個問題回答正確與否相互獨立．
甲過第一關但未過第二關的概率：
P=（$\frac{4}{5}$）²[1-（$\frac{3}{4}$）²]=$\frac{16}{25}×\frac{7}{16}$=$\frac{7}{25}$．
（2）甲所獲獎品的價值ξ的可能取值為0，100，400，900，
P（ξ=0）=1-（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{9}{25}$，
P（ξ=100）=$\frac{7}{25}$，
P（ξ=400）=（$\frac{4}{5}$）²（$\frac{3}{4}$）³[（$\frac{1}{3}$）³+${C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{75}$，
∴甲所獲獎品的價值不高于500元的概率：
p=P（ξ=0）+P（ξ=100）+P（ξ=400）=$\frac{9}{25}+\frac{7}{25}+\frac{7}{75}$=$\frac{11}{15}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．