Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-sinx，x∈[0，π]．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，x∈[0，π]，從而求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）化簡(jiǎn)可得ax-sinx≤1-cosx，作函數(shù)y=ax-1與函數(shù)y=sinx-cosx的圖象，結(jié)合圖象求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，x∈[0，π]，
f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，
故x∈[0，$\frac{π}{3}$）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（$\frac{π}{3}$，π]時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{π}{3}$，π]上是增函數(shù)；
（2）由題意得，
ax-sinx≤1-cosx，
故ax-1≤sinx-cosx，
作函數(shù)y=ax-1與函數(shù)y=sinx-cosx的圖象如圖，
結(jié)合圖象可得，
a≤$\frac{1-（-1）}{π-0}$=$\frac{2}{π}$；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{2}{π}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．