Question

18．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{3}a{x^3}+{x^2}（a＞0）$，x∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程．
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出f′（3），f（3）的值，代入直線方程即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值和極大值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=-\frac{2}{3}{x^3}+{x^2}$，f（3）=-9…（2分）
f'（x）=-2x²+2x，k=f'（3）=-2×3²+2×3=-12…（4分）
f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為：y+9=-12（x-3）…（6分）
∴12x-y+27=0…（7分）
（2）由已知有f'（x）=-2ax²+2x（a＞0）令f'（x）=0，
解得x=0或$x=\frac{1}{a}$，…（10分）
列表如下：

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	0	↗	$\frac{1}{{3{a^2}}}$	↘

…（15分）
x=0時(shí)，f（x）取極小值0，
x=$\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）取極大值$\frac{1}{{3{a^2}}}$…（17分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．