Question

7．已知點P（x，y）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{39}=1$上，若定點A（5，0），動點M滿足|$\overrightarrow{AM}$|=1，且$\overrightarrow{PM•}$$\overrightarrow{AM}$=0，則|$\overrightarrow{PM}$的最小值是|2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題設條件，結合向量的性質，推導出丨PM丨²+丨AM丨²=丨PA丨²，由|$\overrightarrow{AM}$|=1，要求|$\overrightarrow{PM}$|的值最小，將其轉化成求$丨\overline{PA}丨$得最小值，由圖象可知當P點為橢圓的右頂點時取最小值，即可求得$丨\overline{PM}丨$的最小值．

解答 解：由|$\overrightarrow{AM}$|=1，
可知點M的軌跡為以點A（5，0）為圓心，1為半徑的圓，過點P作該圓的切線，
則丨PM丨²+丨AM丨²=丨PA丨²，
得丨PM丨²=丨PA丨²-1，
∴要使得|$\overrightarrow{PM}$|的值最小，則要$丨\overline{PA}丨$的值最小，
結合圖形知，當P點為橢圓的右頂點時，即$丨\overline{PA}丨$=a-c=3時取最小值，∴
$丨\overline{PM}丨$=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓上的線段長的最小值的求法，解題時要認真審題，要熟練掌握橢圓的性質，是中檔題．