Question

11．若函數(shù)f（x）=ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1對任意的x∈（0，+∞）都成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 運用參數(shù)分離，可得a＞$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$對任意的x∈（0，+∞）都成立，設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$，運用導數(shù)，通過單調(diào)性，求得最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1對任意的x∈（0，+∞）都成立，
即有a＞$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$對任意的x∈（0，+∞）都成立，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$，g′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-2x-2）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，
由0＜x＜1+$\sqrt{3}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
由x＞1+$\sqrt{3}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=1+$\sqrt{3}$時，g（x）取得最大值，且為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
則有a＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
即a的范圍為（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．