Question

1．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，A，B的極坐標(biāo)分別為A（2，π），B（2，$\frac{π}{3}$）．
（1）求直線AB的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)M為曲線C上的點，求點M到直線AB距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得點A，B的直角坐標(biāo)，進(jìn)而得到直角坐標(biāo)方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)M（cosθ，sinθ），則點M到直線AB距離d=$|sin（θ-\frac{π}{6}）-1|$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）由A（2，π），B（2，$\frac{π}{3}$）可得直角坐標(biāo)：A（-2，0），B$（1，\sqrt{3}）$．
∴直線AB的直角坐標(biāo)方程為：y-0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），即x-$\sqrt{3}$y+2=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標(biāo)方程：ρcosθ-$\sqrt{3}ρ$sinθ+2=0，化為：$ρsin（θ-\frac{π}{6}）$=1．
（2）設(shè)M（cosθ，sinθ），
則點M到直線AB距離d=$\frac{|cosθ-\sqrt{3}sinθ+2|}{2}$=$|sin（θ-\frac{π}{6}）-1|$≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)$sin（θ-\frac{π}{6}）$=-1時取等號，
∴點M到直線AB距離的最大值為2．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、圓的方程與直線方程的應(yīng)用、點到直線的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．