Question

某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬(wàn)元．為了提高工人的收入，工廠將進(jìn)行技術(shù)改造，改造后有x（100≤x≤150）人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a（a∈N⁺）萬(wàn)元，剩下的人從事其它服務(wù)行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高（2x）%．
（1）設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬(wàn)元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，能使這200人的人均年收入達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）結(jié)合函數(shù)關(guān)系以及一元二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由題意可知技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y=

4ax+(200-x)(1+ 2x 100 )

200

=-

1

10000

x2+

4a+3

200

•x+1，（100≤x≤150）．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）=-

1

10000

x2+

4a+3

200

•x+1為開(kāi)口向下的拋物線，
所以對(duì)稱軸x=-

4a+3 200

2×(- 1 10000 )

=

50(5a+3)

2

=100a+75，
因?yàn)閍∈N⁺），所以對(duì)稱軸x=100a+75≥175，
所以當(dāng)100≤x≤150是，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=150時(shí)，函數(shù)取得最大值為f（150）=3a+1（萬(wàn)元）．
答當(dāng)x150時(shí)，能使這200人的人均年收入達(dá)到最大，最大值為3a+1（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．