Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n+m（n∈N^*）．其中m≠0為常數(shù)，令b_n=a_n+1-ka_n+2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試推斷是否存在實(shí)數(shù)k，使對(duì)一切n∈N都有T_n=kS_n成立？若存在，求k的值：若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 由_n=2a_n+m可得a_n=2a_n-2a_n-1，從而可求得a_n=-m•2^n-1，從而求得S_n與b_n，從而求得T_n，從而可得2（m-2km）（1-2ⁿ）=mk（1-2ⁿ），從而解得．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁+m，
解得，a₁=-m；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n+m，S_n-1=2a_n-1+m；
兩式作差可得，
a_n=2a_n-2a_n-1，
故a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以-m為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
故a_n=-m•2^n-1，
故S_n=2a_n+m=2（-m•2^n-1）+m=m（1-2ⁿ），
b_n=a_n+1-ka_n+2=-m2ⁿ+km2^n+1′
=（2km-m）2ⁿ，
故T_n=（2km-m）（2+4+…+2ⁿ）
=（2km-m）$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2（m-2km）（1-2ⁿ），
若存在實(shí)數(shù)k，使對(duì)一切n∈N都有T_n=kS_n成立，
則2（m-2km）（1-2ⁿ）=mk（1-2ⁿ），
故2（1-2k）=k，
故k=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．