Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-|ax-2|，x∈[-1，2]，
（Ⅰ）當(dāng)a=6時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）設(shè)0＜a≤4，求函數(shù)f（x）最小值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=6時(shí)，分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）設(shè)0＜a≤4，分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系求函數(shù)f（x）最小值g（a）．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=6時(shí)，$f（x）={x^2}-|6x-2|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+6x-2={（x+3）^2}-11，\;\;-1≤x＜\frac{1}{3}\\{x^2}-6x+2={（x-3）^2}-7，\;\;\frac{1}{3}≤x＜2\end{array}\right.$，
當(dāng)$-1≤x＜\frac{1}{3}$時(shí)，$f（x）∈[-7，\frac{1}{9}]$；
當(dāng)$\frac{1}{3}≤x＜2$時(shí)，$f（x）∈[-6，\frac{1}{9}]$，
函數(shù)f（x）的值域?yàn)?[-7，\frac{1}{9}]$．
（Ⅱ）$f（x）={x^2}-|ax-2|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+ax-2={（x+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-2，\;\;x＜\frac{2}{a}\\{x^2}-ax+2={（x-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}+2，\;\;x≥\frac{2}{a}\end{array}\right.$
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{2}{a}＞2$，$-\frac{1}{2}＜-\frac{a}{2}＜0$，
此時(shí)當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）=x²+ax-2
在$[-1，-\frac{a}{2}]$上單調(diào)遞減，在$（-\frac{a}{2}，2]$上單調(diào)遞增，
所以$g（a）=f（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$；
（2）當(dāng)1≤a≤2時(shí)，$\frac{2}{a}≥\frac{a}{2}$，$-1≤-\frac{a}{2}≤-\frac{1}{2}$f（x）在$[-1，-\frac{a}{2}]$上單調(diào)遞減，在$（-\frac{a}{2}，2]$上單調(diào)遞增，
所以$g（a）=f（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$；
（3）當(dāng)2＜a≤4時(shí)，$\frac{2}{a}＜\frac{a}{2}$，$-2≤-\frac{a}{2}＜-1$f（x）在$[-1，\frac{2}{a}]$上單調(diào)遞增，在$（\frac{2}{a}，\frac{a}{2}]$上單調(diào)遞減，
在$（\frac{a}{2}，2]$上單調(diào)遞增，所以$g（a）=min\{f（-1），f（\frac{a}{2}）\}$，$f（-1）-f（\frac{a}{2}）=（-a-1）-（-\frac{a^2}{4}+2）=\frac{1}{4}{（a-2）^2}-4＜0$，
所以$f（-1）＜f（\frac{a}{2}）$，故g（a）=f（-1）=-a-1；
綜上所述：$g（a）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{a^2}{4}-2，\;\;0＜a≤2\\-a-1，\;\;2＜a≤4\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系．