Question

16．已知f（x）=-2acos²x一2$\sqrt{2}$asinx+3a+b的定義域?yàn)閇0，$\frac{π}{2}$]，值域?yàn)閇-5，1]，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 對f（x）配方化簡f（x），根據(jù)x的范圍判斷f（x）的最大值和最小值，列出方程組解出．

解答 解：f（x）=-2a（1-sin²x）-2$\sqrt{2}$asinx+3a+b=2asin²x-2$\sqrt{2}a$sinx+a+b=2a（sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+b．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴0≤sinx≤1．
（1）若a＞0，則當(dāng)sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）取得最小值b，當(dāng)sinx=0時，f（x）取得最大值a+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得a=6，b=-5．
（2）若a＜0，則當(dāng)sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）取得最大值b，當(dāng)sinx=0是，f（x）取得最小值a+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a+b=-5}\end{array}\right.$，解得a=-6，b=1．（舍去）
（3）當(dāng)a=0時，f（x）為常數(shù)函數(shù)，不符合題意．
綜上，a=6，b=-5．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，換元法思想，屬于中檔題．