Question

6．已知在大小為105°的二面角α-l-β內有一點P，P到α的距離為2$\sqrt{3}$，P到棱l的距離為4，求P到β的距離．

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角結合點到平面的距離，利用三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：作AP⊥α，BP⊥β，
則AP⊥l，BP⊥l
則l⊥平面PAB，設l∩平面PAB=C，
∵二面角α-l-β的平面角是105°，

∴∠ACB=180°-105°=75°，
∵P到α的距離為2$\sqrt{3}$，P到棱l的距離為4，
∴PA=2$\sqrt{3}$，PC=4，
則sin∠PCA=$\frac{AP}{CP}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即∠PCA=60°，
則∠PCB=75°-60°=15°，
在△PBC中，sin∠PCB=$\frac{PB}{PC}$，
則PB=PCsin15°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查點到平面的距離的求解以及空間二面角的應用，根據(jù)定義作出二面角的平面角以及利用三角形的邊角關系是解決本題的關鍵．