Question

11．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上且在第一象限內(nèi)，MF=2p，若線段MF恰好被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平分，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 先求出MF的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用線段MF恰好被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平分，求出$\frac{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，再求出雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），M（x₀，y₀），則
MF=y₀+$\frac{p}{2}$=2p，∴y₀=$\frac{3p}{2}$，x₀=$\sqrt{3}$p，
∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，p），
故$\frac{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．