Question

17．函數(shù)f（x）、g（x）的定義域都是R，f（x）是奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且2f（x）+3g（x）=9x²-4x+1．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若F（x）=[f（x）]²-3g（x），求F（x）的值域和單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）、g（x）的奇偶性，得出-2f（x）+3g（x）=9x²+4x+1②；又2f（x）+3g（x）=9x²-4x+1①，由①、②，求得f（x）、g（x）；
（2）F（x）=[f（x）]²-3g（x）=-5x²+1，即可求F（x）的值域和單調區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
且2f（x）+3g（x）=9x²-4x+1，①，
∴2f（-x）+3g（-x）=9x²+4x+1，
即-2f（x）+3g（x）=9x²+4x+1，②；
由①、②解得f（x）=-2x，g（x）=3x²+$\frac{1}{3}$．
（2）F（x）=[f（x）]²-3g（x）=-5x²-1，
∴F（x）的值域是（-∞，1]；單調區(qū)間（-∞，0）單調遞增，（0，+∞）單調遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用問題，解題時應根據(jù)題意，結合奇偶性建立二元一次方程組，從而求出答案來，是中檔題．