Question

5．給出下列四個(gè)命題：
①?α∈R，$sinα-cosα=\frac{7}{5}$；
②函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x$圖象的對稱中心是$（{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，0}）$（k∈Z）；
③函數(shù)$f（x）=\frac{sinx}{3-cosx}$是周期函數(shù)，2π是它的一個(gè)周期；
④（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1）．
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化積后求出sinα-cosα的值域判斷①；利用兩角和的正弦化積后求出對稱中心判斷②；直接利用周期函數(shù)的定義判斷③；利用兩角和的正切求得等式兩邊的值判斷④．

解答 解：①∵sinα-cosα=$\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）$，∴sinα-cosα∈[-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，即?α∈R，$sinα-cosα=\frac{7}{5}$，①正確；
②函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，由$2x+\frac{π}{6}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，圖象的對稱中心是（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，0$）（k∈Z），②錯(cuò)誤；
③∵f（x+2π）=$\frac{sin（x+2π）}{3-cos（x+2π）}$=$\frac{sinx}{3-cosx}=f（x）$，∴函數(shù)$f（x）=\frac{sinx}{3-cosx}$是周期函數(shù)，2π是它的一個(gè)周期，③正確；
④∵（tan14°+1）（tan31°+1）=tan31°+tan14°+tan31°tan14°+1=2，
（tan16°+1）（tan29°+1）=tan16°+tan29°+tan16°tan29°+1=2，
∴（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1），④正確．
∴真命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象好性質(zhì)，是中檔題．