Question

6．已知點A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），直線PA與PB的斜率之積為定值-$\frac{1}{2}$．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）在軌跡E上求一點M，使它到直線l：x-y-2$\sqrt{3}$=0的距離最小．

Answer 1

分析 （1）用坐標(biāo)表示直線PA與PB的斜率因為直線PA與PB的斜率之積為定值-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{y}{x-\sqrt{2}}•\frac{y}{x+\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，整理得動點P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線y=x+t與軌跡E相切，聯(lián)立，求出t，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意$\frac{y}{x-\sqrt{2}}•\frac{y}{x+\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，所以所求軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1（y≠0）；
（2）設(shè)直線y=x+t與軌跡E相切，聯(lián)立可得3x²+4tx+2t²-2=0，
∴△=16t²-12（2t²-2）=0，
∴t=$±\sqrt{3}$，
∴t=-$\sqrt{3}$，M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）到直線l：x-y-2$\sqrt{3}$=0的距離最小．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．